微分積分

数学の独学のために書いています。極力避けるようにしていますが、間違った内容が入る可能性があります。

数列とは

数列は $a_1,a_2,a_3,\cdots$ のような数の並びです。

集合とはまた違ったもので、順番があります。

また、 $\{1, 1, 1, \cdots \}$ といった数列は $\{ 1 \}$ と同じではありません。集合では $\{ 1, 1, 1, \cdots \} = \{1\}$ となります。

無限数列とは $a_1,a_2,a_3,\cdots$ が無限に連なった数列を言います。

定義1

関数 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ のことを数列といい、 $\{a_n\}$ などとあらわす。

ここでは写像の値域を $\mathbb{R}$ としていますが、もっと一般的に何でもいいです。

複素数 $\mathbb{C}$ が値域でも数列ですし、点でも点列として数列となります。

この定義では $a_1 = f(1) \in \mathbb{R}$ 、 $a_n = f(n)$ となります。

また、定義域が自然数全体となっていますが、これを制限して例えば項が3つの数列も定義できます。

以下、無限数列を扱っていきます。

数列の極限

数列の極限は $\{ a_n\}$ の $n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくとき、数列 $\{ a_n \}$ は $\alpha$ に収束する、と表現されます。このとき $\alpha$ は極限値といいます。また、収束しない場合は発散するといいます。

この時、下のように書きます。

$\lim_\limits{n \to \infty} a_n = \alpha$ または $a_n \to \alpha \quad ( n \to \infty)$

収束する数列の例

数列の一般項を $a_n = \frac{1}{n}$ とすると

$a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}, \cdots$

となり、どんどん小さくなりながらも0以上であることがわかります。

その極限は

$\lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

となります。

この極限という考え方をより厳密にしたいです。

定義2

数列 $\{ a_n \}$ がある値 $\alpha$ に収束するとは、

任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して

$n \geq n_0 \implies | \alpha - a_n | \lt \varepsilon$

となることをいう。

先ほどの例を当てはめてみましょう

$a_n = \frac{1}{n}$ の $n$ が限りなく大きくなるにつれて0に収束することを示します。

証明

アルキメデスの公理より、どんな $\varepsilon \gt 0$ に対しても $1 \lt \varepsilon n_0$ となるような $n_0$ をとることができる。すると、

$n \geq n_0$ なら $0 \lt \frac{1}{n} \lt \varepsilon$

となる。 $a_n = \frac{1}{n} = |\frac{1}{n}| = |0-\frac{1}{n} | = | 0 - a_n |$ なので

$n \geq n_0 \implies | 0 - a_n | \lt \varepsilon$

が成り立つ。よって

$\lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

が示された。

定義2で数列の収束を厳密に示すことができますが、式が何を意図しているかはわかりにくいです。

まず、 $\varepsilon$ は基本、0よりは大きいがとにかく小さい数と認識してください。

定義の条件の中にある

$| \alpha - a_n| \lt \varepsilon$

は $\alpha$ と $a_n$ の距離が $\varepsilon$ よりも小さいことを意味するので、距離をとても小さい $\varepsilon$ よりもさらに小さくしなさいという制限を意味します。

そしてこの制限は $n \geq n_0$ の時にだけ成り立てばいいです。 $n_0$ を定めるとそれより大きい $n$ つまり、数列において、 $n_0$ より先の番号の項の時に成り立ってほしいということで、 $n_0$ よりも小さい番号の項は気にしなくともよいということを意味します。

任意の $\varepsilon$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して～、という言葉は $\varepsilon$ を固定しておいて、 $n_0$ を $\varepsilon$ ごとに定めて条件を満たそうということです。

絶対値の代わりに距離関数を使うことで実数の連なる数列だけでなく、 $\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ の点列といった数列の収束も定義できます。

定義3

$\mathbb{R}^n$ の距離関数を $d(x, y)$ とする。

$\mathbb{R}^n$ の一点 $a$ と $\varepsilon \gt 0$ に対して、

$U_{\varepsilon}(a)=\{ x \mid x \in \mathbb{R}^n, d(a, x) \lt \varepsilon \}$

を点 $a$ の $\varepsilon$ 近傍という。

距離関数 $d(x, y)$ というのは $\mathbb{R}^n$ の二点 $x,y$ の距離を表すものだと思ってください。距離関数はいろいろと定義できますが、以下の四つの条件があります。

$d(x,y)$ は実数で0以上
$d(x, y)=d(y, x)$
$d(x, y)=0 \iff x = y$
三角不等式が成り立つ

距離関数の有名な例は、 $\mathbb{R}^2$ の二点の距離関数 $d(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ でユークリッド距離として中学の数学でも習います。

$\varepsilon$ 近傍はある点からの距離が $\varepsilon$ よりも小さい点全体の集合を表します。

この近傍の概念を使って数列の収束を定義できます。

定義4

数列 $\{ a_n \}$ がある値 $\alpha$ に収束するとは、

任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して

$n \geq n_0 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha)$

となることをいう。

もろもろの性質

先ほどの収束の定理によって高校数学では証明できなかった数々のことが証明できるようになります。

命題5

数列の極限値が存在するとき、必ずそれはただ一つである。

証明

数列 $\{a_n\}$ の極限値が $\alpha, \beta (\alpha \ne \beta)$ であると仮定する。

この時任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_1,n_2$ が存在して

$n \geq n_1 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha)$

$n \geq n_2 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\beta)$

が同時に成り立つ。

$n_0 = \max(n_1, n_2)$ とすると $n \geq n_0 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha) \cap U_{\varepsilon}(\beta)$ が成り立つ。

しかし $\varepsilon$ は任意にとっていいので $U_{\varepsilon}(\alpha)$ と $U_{\varepsilon}(\beta)$ が重ならないよう、つまり $U_{\varepsilon}(\alpha) \cap U_{\varepsilon}(\beta) = \varnothing$ となるように $\varepsilon$ をとることができるので矛盾が生じる。( $\varepsilon = |\alpha - \beta | / 3$ などととればよい)

よって数列の極限値が存在するとき、それはただ一つに定まる。

直感的にわかる命題ですが、厳密に証明するとこうなるのですね。

定理6

実数列 $\{ a_n\} , \{ b_n \}$ がともに収束するとき

$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \pm \lim_\limits{n \to \infty} b_n$
$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n\lim_\limits{n \to \infty} b_n$
$\displaystyle \qquad \lim_\limits{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_\limits{n \to \infty} a_n}{\lim_\limits{n \to \infty} b_n}$

ただし3の時には $b_n \neq 0, \lim_\limits{n \to \infty} b_n \neq 0$

証明

$\lim_\limits{n \to \infty}a_n = a, \lim_\limits{n \to \infty}b_n = b$ とする。

1の証明

任意の $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle n \geq n_1 \implies |a - a_n| \lt \varepsilon / 2$

$\displaystyle n \geq n_2 \implies |b - b_n| \lt \varepsilon / 2$

となるような $n_1,n_2$ が存在し、 $n_0 = \max(n_1,n_2)$ とおく。

$n \geq n_0$ のとき、以下が成り立つ。

\begin{split} \displaystyle | (a_n + b_n)- (a + b)| &\leq |a_n - a| +|b_n- b| \\ &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\ &=\varepsilon \end{split}

よって

$n \geq n_0 \implies |(a_n + b_n) - (a+b)| \lt \varepsilon$

となるので

$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n + \lim_\limits{n \to \infty} b_n$

となる。

同様に $\lim_\limits{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n - \lim_\limits{n \to \infty} b_n$ も示せる。

意外にもこの定理は高校数学の教科書で証明されていません。

ここでは証明の最初のほうに $\varepsilon$ の代わりとして $\varepsilon / 2$ を使っています。こうすることでを $|(a_n + b_n) - (a+b)| \lt \varepsilon$ の右辺を $\varepsilon$ にすることができるのですが、この方法は少々面倒です。

最初に $\varepsilon$ とすると足したときに $2 \varepsilon$ となりますが、任意の0より大きい $\varepsilon$ は二倍したところでとることのできる値は変わらず、本質的に問題はありません。

以降、このような場合で $\varepsilon$ の係数が0より大きい実数の定数であるとき、証明が成り立つとします。

補足

数列の収束の定義を見直してみましょう。

"任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して～"とあります。

順番は $\varepsilon$ を決めた後に $n_0$ を決めています。

$\varepsilon$ は $n_0$ に関係のない数ですね。

ですので先ほど $\varepsilon$ の係数が定数の場合と記したわけです。

2の証明

任意の $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle n \geq n_1 \implies |a - a_n| \lt \varepsilon$

$\displaystyle n \geq n_2 \implies |b - b_n| \lt \varepsilon$

となるような $n_1,n_2$ が存在し、 $n_0 = \max(n_1,n_2)$ とおく。

$n \leq n_0$ のとき

\begin{split}|a_nb_n - ab| &= |(a_n - a)b + a_n(b_n - b)| \\ &\leq |(a_n - a)b| +| a_n(b_n - b)| \\ &=|a_n||b| + |(a_n - a) + a||b_n - b| \\ &\leq |a_n||b| + (|a_n - a|+| a|)|b_n - b| \\ &\lt \varepsilon |b| + (\varepsilon + |a|)\varepsilon \\ &=\varepsilon' \end{split}

よって

$n \geq n_0 \implies |a_nb_n - ab| \lt \varepsilon'$

となり、 $\varepsilon'$ は $\varepsilon$ が小さくなるにつれてどこまでも小さくなっていくので

$\lim_\limits{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \lim_\limits{n \to \infty} b_n$

が成り立つ。

以下の定理6.3の証明では $\varepsilon$ の大きさを制限します。 $0 \lt \varepsilon \lt l$ のような形でもいいのは、 $\varepsilon$ がとても小さいとき、収束の定義の目的と合うからです。

$\varepsilon \geq l$ の時は $|\alpha - a_n| \lt l$ が成り立つような $n_0$ を取るようにすると $|\alpha - a_n| \lt \varepsilon$ が成り立ちます。

3の証明

$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \frac{1}{b_n}$

より $\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}$ が成り立つことを示せば定理6.2より十分。

$\displaystyle 0 \lt \varepsilon \lt \min ( \frac{|b|}{2}, 1)$ とする。

$n$ を十分大きくすると、

$\displaystyle \begin{split} \left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right| &= \left|\frac{b_n - b}{bb_n} \right| \\ &\leq\frac{|b_n - b|}{|b|(|b| - |b_n - b|)} \\ &\lt \frac{\varepsilon}{|b|(|b| - \frac{|b|}{2})} \\ &= \varepsilon'\end{split} $

よって

$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}$

が成り立つ。

途中式のわかりずらいところのメモを書いておきます。

$\displaystyle \left| \frac{b_n - b}{bb_n} \right| \leq \frac{|b_n - b|}{|b|(|b| - |b_n - b|)}$

$|b|$ などは正数で不等号の向きに関係ないので $|b_n| \geq |b| - |b_n - b|$ が成り立てば上の式が成り立つことがわかります。

三角不等式より $|b| \leq |b_n| + |b_n -b|$ が成り立つのでこれを変形すると導出できます。

絶対値を距離関数としてみると $d(0, b) \leq d(0, b_n) + d(b_n, b)$ とも書けます。

$\displaystyle\frac{|b_n - b|}{|b|(|b| - |b_n - b|)} \lt \frac{\varepsilon}{|b|(|b| - \frac{|b|}{2})}$

分子の $|b_n - b|$ は $\varepsilon$ に置き換えていますが、分母は $|b|/2$ です。

分子だけを入れ替えた場合、不等号が成り立つのは明らかでしょう。

正数において、分母が小さいほうが数は大きくなりますが、分母の $|b_n -b|$ は係数が負なのでより大きい $|b|/2$ に置き換えて不等号が成り立つことがわかります。( $|b_n - b| \lt \varepsilon \lt |b|/2$ )

分子の $|b_n - b|$ を $|b|/2$ に置き換えてしまうと定数になってしまい、意味がありません。

分母の $|b_n - b|$ を $\varepsilon$ に置き換えてしまうと、 $\varepsilon$ が小さくなるときに $\varepsilon'$ が小さくなることが不明瞭です。

これらの置き換えで $\varepsilon$ の係数が正の定数になっています。

参考

URL:

イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～ | 数学の景色

書籍:

高木貞治,定本解析概論,2010,岩波書店
笠原晧司,微分積分学,1974,サイエンス社

数学の独学のために書いています。極力避けるようにしていますが、間違った内容が入る可能性があります。

切断のしかた

実数 $\mathbb{R}$ の連続性をデデキント切断で確認します。

空ではない集合 $A,B \subset \mathbb{R}$ が

$A \cup B = \mathbb{R}, \qquad A \cap B = \varnothing$

となり、

任意の $a \in A, b \in B$ に対して $a \lt b$ が成り立つ

とします。(つまり $A \lt B$ )

どんな実数も $A$ または $B$ のどちらかに含まれるということですね。

こうした組み分け $(A,B)$ を $\mathbb{R}$ の切断といい、ふたつの集合の最大値最小値を確かめます。

$s \in \mathbb{R}$ に対して、

$A = \{ x \mid x \lt s, x \in \mathbb{R} \}$

$B = \{ x \mid x \geq s, x \in \mathbb{R} \}$

とすると $A,B$ は $\mathbb{R}$ の切断となって、 $A$ には最大値が存在せず、 $B$ には最小値が存在します。この例では $s$ 自身を $B$ の方に含めましたが、同様に $A$ の方に含めても切断が成り立ちます。

つまり、ある実数より大きな数、小さな数の集合をつくり、そのどちらかにその実数を含めると切断がつくれます。 $A$ を上組、 $B$ を下組と言ったりします。

デデキントの切断ではこの逆が重要になります。

デデキントの定理

$\mathbb{R}$ の切断 $(A,B)$ が与えられたとき、一つの実数 $s$ が存在して、以下のどちらかが成り立つ

$A$ の最大値が $s$ で、 $B$ の最小値が存在しない
$A$ の最大値が存在せず、 $B$ の最小値が $s$

実数ではこの定理が成り立ちます。

ただし切断する集合が実数でなくなるとその限りではありません。

そもそも、切断 $(A,B)$ は以下の三つの場合が考えられます。

$A$ の最大値と $B$ の最小値がともに存在する
$A$ の最大値と $B$ の最小値がともに存在しない
$A$ の最大値と $B$ の最小値、どちらか一方のみが存在する

$\mathbb{R}$ の切断は3の場合ですね。

1の場合の例 整数全体の集合 $\mathbb{Z}$

$A = \{\cdots, -2, -1, 0 \} \quad B = \{1, 2 , \cdots \}$

とすると $(A,B)$ は $\mathbb{Z}$ の切断となり、1の場合を満たします。

整数の切断はこの場合のみです。

2の場合の例 有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$

$\sqrt{2}$ より大きい数、小さい数で切断がつくれますが、 $\sqrt{2}$ 自体は無理数ですのでどちらの集合にも含まれず、2の場合を満たします。

ただし、有理数では3の場合の切断もあり得ます。

有理数、実数では1の場合の切断はあり得ません。

命題1

実数の切断 $(A,B)$ では $A$ の最大値と $B$ の最小値がともに存在することはない。

証明

実数 $\mathbb{R}$ の切断 $(A,B)$ で、 $A$ に最大値、 $B$ に最小値が存在すると仮定する。

$a = \max A, b = \min B$

とすると、 $a \in A, b \in B$ となり、 $A \lt B$ より $a \lt b$ が成り立つ。

実数の性質から、 $a \lt c \lt b$ となるような $c \in \mathbb{R}$ をとることができる。(ここでいう性質は実数の稠密性です。有理数でも成り立ちます。下に捕捉を載せました。)

しかし $c \notin A \cup B$ となり、これは切断の定義のひとつ $A \cup B = \mathbb{R}$ に反する。

よって実数の切断 $(A,B)$ では $A$ の最大値と $B$ の最小値がともに存在することはない。

補足

稠密性とは、要するに集合がぎっしり詰まっているということです。

実数において、 $0$ と $1$ の間の数には $0.5$ のような数が存在します。さらに、 $0$ と $0.5$ の間にも無数に実数が存在します。整数の集合ではこのようなことは成り立ちません。

このことを一般的に言うと、

集合 $X$ が稠密であるとは、任意の $a, b \in X (a \lt b)$ に対して $a \lt c \lt b$ となるような $c \in X$ が存在することである。

となります。位相空間論では閉包という概念で表したりもします。

結局何が言いたいのか

デデキント切断の定義を見ただけで意図が理解できる人は少ないと思います。

ざっくりいうと、実数には隙間がないということです。これはぎっしり詰まっていると表現した稠密性とはまた違うことです。

有理数では $\sqrt{2}$ や $\sqrt{3}$ といった隙間ができてしまいます。

これらの隙間の数は、有理数の集合の端に触れずに有理数の切断ができます。しかし実数ではそのように切断をすることができる数はありません。

参考

書籍:

高木貞治,定本解析概論,2010,岩波書店
笠原晧司,微分積分学,1974,サイエンス社