数列の収束 - 微分積分

数学の独学のために書いています。極力避けるようにしていますが、間違った内容が入る可能性があります。

数列とは

数列は $a_1,a_2,a_3,\cdots$ のような数の並びです。

集合とはまた違ったもので、順番があります。

また、 $\{1, 1, 1, \cdots \}$ といった数列は $\{ 1 \}$ と同じではありません。集合では $\{ 1, 1, 1, \cdots \} = \{1\}$ となります。

無限数列とは $a_1,a_2,a_3,\cdots$ が無限に連なった数列を言います。

定義1

関数 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ のことを数列といい、 $\{a_n\}$ などとあらわす。

ここでは写像の値域を $\mathbb{R}$ としていますが、もっと一般的に何でもいいです。

複素数 $\mathbb{C}$ が値域でも数列ですし、点でも点列として数列となります。

この定義では $a_1 = f(1) \in \mathbb{R}$ 、 $a_n = f(n)$ となります。

また、定義域が自然数全体となっていますが、これを制限して例えば項が3つの数列も定義できます。

以下、無限数列を扱っていきます。

数列の極限

数列の極限は $\{ a_n\}$ の $n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくとき、数列 $\{ a_n \}$ は $\alpha$ に収束する、と表現されます。このとき $\alpha$ は極限値といいます。また、収束しない場合は発散するといいます。

この時、下のように書きます。

$\lim_\limits{n \to \infty} a_n = \alpha$ または $a_n \to \alpha \quad ( n \to \infty)$

収束する数列の例

数列の一般項を $a_n = \frac{1}{n}$ とすると

$a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}, \cdots$

となり、どんどん小さくなりながらも0以上であることがわかります。

その極限は

$\lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

となります。

この極限という考え方をより厳密にしたいです。

定義2

数列 $\{ a_n \}$ がある値 $\alpha$ に収束するとは、

任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して

$n \geq n_0 \implies | \alpha - a_n | \lt \varepsilon$

となることをいう。

先ほどの例を当てはめてみましょう

$a_n = \frac{1}{n}$ の $n$ が限りなく大きくなるにつれて0に収束することを示します。

証明

アルキメデスの公理より、どんな $\varepsilon \gt 0$ に対しても $1 \lt \varepsilon n_0$ となるような $n_0$ をとることができる。すると、

$n \geq n_0$ なら $0 \lt \frac{1}{n} \lt \varepsilon$

となる。 $a_n = \frac{1}{n} = |\frac{1}{n}| = |0-\frac{1}{n} | = | 0 - a_n |$ なので

$n \geq n_0 \implies | 0 - a_n | \lt \varepsilon$

が成り立つ。よって

$\lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

が示された。

定義2で数列の収束を厳密に示すことができますが、式が何を意図しているかはわかりにくいです。

まず、 $\varepsilon$ は基本、0よりは大きいがとにかく小さい数と認識してください。

定義の条件の中にある

$| \alpha - a_n| \lt \varepsilon$

は $\alpha$ と $a_n$ の距離が $\varepsilon$ よりも小さいことを意味するので、距離をとても小さい $\varepsilon$ よりもさらに小さくしなさいという制限を意味します。

そしてこの制限は $n \geq n_0$ の時にだけ成り立てばいいです。 $n_0$ を定めるとそれより大きい $n$ つまり、数列において、 $n_0$ より先の番号の項の時に成り立ってほしいということで、 $n_0$ よりも小さい番号の項は気にしなくともよいということを意味します。

任意の $\varepsilon$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して～、という言葉は $\varepsilon$ を固定しておいて、 $n_0$ を $\varepsilon$ ごとに定めて条件を満たそうということです。

絶対値の代わりに距離関数を使うことで実数の連なる数列だけでなく、 $\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ の点列といった数列の収束も定義できます。

定義3

$\mathbb{R}^n$ の距離関数を $d(x, y)$ とする。

$\mathbb{R}^n$ の一点 $a$ と $\varepsilon \gt 0$ に対して、

$U_{\varepsilon}(a)=\{ x \mid x \in \mathbb{R}^n, d(a, x) \lt \varepsilon \}$

を点 $a$ の $\varepsilon$ 近傍という。

距離関数 $d(x, y)$ というのは $\mathbb{R}^n$ の二点 $x,y$ の距離を表すものだと思ってください。距離関数はいろいろと定義できますが、以下の四つの条件があります。

$d(x,y)$ は実数で0以上
$d(x, y)=d(y, x)$
$d(x, y)=0 \iff x = y$
三角不等式が成り立つ

距離関数の有名な例は、 $\mathbb{R}^2$ の二点の距離関数 $d(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ でユークリッド距離として中学の数学でも習います。

$\varepsilon$ 近傍はある点からの距離が $\varepsilon$ よりも小さい点全体の集合を表します。

この近傍の概念を使って数列の収束を定義できます。

定義4

数列 $\{ a_n \}$ がある値 $\alpha$ に収束するとは、

任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して

$n \geq n_0 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha)$

となることをいう。

もろもろの性質

先ほどの収束の定理によって高校数学では証明できなかった数々のことが証明できるようになります。

命題5

数列の極限値が存在するとき、必ずそれはただ一つである。

証明

数列 $\{a_n\}$ の極限値が $\alpha, \beta (\alpha \ne \beta)$ であると仮定する。

この時任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_1,n_2$ が存在して

$n \geq n_1 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha)$

$n \geq n_2 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\beta)$

が同時に成り立つ。

$n_0 = \max(n_1, n_2)$ とすると $n \geq n_0 \implies a_n \in U_{\varepsilon}(\alpha) \cap U_{\varepsilon}(\beta)$ が成り立つ。

しかし $\varepsilon$ は任意にとっていいので $U_{\varepsilon}(\alpha)$ と $U_{\varepsilon}(\beta)$ が重ならないよう、つまり $U_{\varepsilon}(\alpha) \cap U_{\varepsilon}(\beta) = \varnothing$ となるように $\varepsilon$ をとることができるので矛盾が生じる。( $\varepsilon = |\alpha - \beta | / 3$ などととればよい)

よって数列の極限値が存在するとき、それはただ一つに定まる。

直感的にわかる命題ですが、厳密に証明するとこうなるのですね。

定理6

実数列 $\{ a_n\} , \{ b_n \}$ がともに収束するとき

$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \pm \lim_\limits{n \to \infty} b_n$
$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n\lim_\limits{n \to \infty} b_n$
$\displaystyle \qquad \lim_\limits{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_\limits{n \to \infty} a_n}{\lim_\limits{n \to \infty} b_n}$

ただし3の時には $b_n \neq 0, \lim_\limits{n \to \infty} b_n \neq 0$

証明

$\lim_\limits{n \to \infty}a_n = a, \lim_\limits{n \to \infty}b_n = b$ とする。

1の証明

任意の $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle n \geq n_1 \implies |a - a_n| \lt \varepsilon / 2$

$\displaystyle n \geq n_2 \implies |b - b_n| \lt \varepsilon / 2$

となるような $n_1,n_2$ が存在し、 $n_0 = \max(n_1,n_2)$ とおく。

$n \geq n_0$ のとき、以下が成り立つ。

\begin{split} \displaystyle | (a_n + b_n)- (a + b)| &\leq |a_n - a| +|b_n- b| \\ &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\ &=\varepsilon \end{split}

よって

$n \geq n_0 \implies |(a_n + b_n) - (a+b)| \lt \varepsilon$

となるので

$\qquad \lim_\limits{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n + \lim_\limits{n \to \infty} b_n$

となる。

同様に $\lim_\limits{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n - \lim_\limits{n \to \infty} b_n$ も示せる。

意外にもこの定理は高校数学の教科書で証明されていません。

ここでは証明の最初のほうに $\varepsilon$ の代わりとして $\varepsilon / 2$ を使っています。こうすることでを $|(a_n + b_n) - (a+b)| \lt \varepsilon$ の右辺を $\varepsilon$ にすることができるのですが、この方法は少々面倒です。

最初に $\varepsilon$ とすると足したときに $2 \varepsilon$ となりますが、任意の0より大きい $\varepsilon$ は二倍したところでとることのできる値は変わらず、本質的に問題はありません。

以降、このような場合で $\varepsilon$ の係数が0より大きい実数の定数であるとき、証明が成り立つとします。

補足

数列の収束の定義を見直してみましょう。

"任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n_0 \in \mathbb{N}$ が存在して～"とあります。

順番は $\varepsilon$ を決めた後に $n_0$ を決めています。

$\varepsilon$ は $n_0$ に関係のない数ですね。

ですので先ほど $\varepsilon$ の係数が定数の場合と記したわけです。

2の証明

任意の $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle n \geq n_1 \implies |a - a_n| \lt \varepsilon$

$\displaystyle n \geq n_2 \implies |b - b_n| \lt \varepsilon$

となるような $n_1,n_2$ が存在し、 $n_0 = \max(n_1,n_2)$ とおく。

$n \leq n_0$ のとき

\begin{split}|a_nb_n - ab| &= |(a_n - a)b + a_n(b_n - b)| \\ &\leq |(a_n - a)b| +| a_n(b_n - b)| \\ &=|a_n||b| + |(a_n - a) + a||b_n - b| \\ &\leq |a_n||b| + (|a_n - a|+| a|)|b_n - b| \\ &\lt \varepsilon |b| + (\varepsilon + |a|)\varepsilon \\ &=\varepsilon' \end{split}

よって

$n \geq n_0 \implies |a_nb_n - ab| \lt \varepsilon'$

となり、 $\varepsilon'$ は $\varepsilon$ が小さくなるにつれてどこまでも小さくなっていくので

$\lim_\limits{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \lim_\limits{n \to \infty} b_n$

が成り立つ。

以下の定理6.3の証明では $\varepsilon$ の大きさを制限します。 $0 \lt \varepsilon \lt l$ のような形でもいいのは、 $\varepsilon$ がとても小さいとき、収束の定義の目的と合うからです。

$\varepsilon \geq l$ の時は $|\alpha - a_n| \lt l$ が成り立つような $n_0$ を取るようにすると $|\alpha - a_n| \lt \varepsilon$ が成り立ちます。

3の証明

$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_\limits{n \to \infty} a_n \frac{1}{b_n}$

より $\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}$ が成り立つことを示せば定理6.2より十分。

$\displaystyle 0 \lt \varepsilon \lt \min ( \frac{|b|}{2}, 1)$ とする。

$n$ を十分大きくすると、

$\displaystyle \begin{split} \left|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right| &= \left|\frac{b_n - b}{bb_n} \right| \\ &\leq\frac{|b_n - b|}{|b|(|b| - |b_n - b|)} \\ &\lt \frac{\varepsilon}{|b|(|b| - \frac{|b|}{2})} \\ &= \varepsilon'\end{split} $

よって

$\displaystyle \lim_\limits{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}$

が成り立つ。

途中式のわかりずらいところのメモを書いておきます。

$\displaystyle \left| \frac{b_n - b}{bb_n} \right| \leq \frac{|b_n - b|}{|b|(|b| - |b_n - b|)}$